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钦定古今图书集成历象汇编历法典

 第六十一卷目录

 历法总部汇考六十一
  新法历书十一〈交食历指三〉

历法典第六十一卷

历法总部汇考六十一

新法历书十一

交食历指三食限第一〈凡六章〉

食限者,日月行两道,各推其经度,距交若干为有食之始也。而日与月不同,月食则太阴与地景相遇,两周相切,以其两视半径较白道距黄道度,又以距度推交周度定食限。若日食则太阳与太阴相遇,虽两周相切,其两视半径未可定,两道之距度为有视差,必以之相加,而得距度,故特论半径则日食之二径狭,月食之二径广。论日食之限反大于月食之限,以视差也。
太阴食限

表中地景半径最大者先定四十七分,太阴半径最大者一十七分二十○秒,并得一度○四分二十○秒。日月两道之距在此数以内可有月食,〈可食者可不食也〉以此距度推其相值之交常,得一十二度二十八分为月食限。推法最大距度〈四度五十八分半〉与象限九十度若距度与交常之弧也,其最小者地半景定四十三分,月半径一十五分一十五秒,并得五十八分一十五秒,若距度与之等者,依前法推交常度得一十一度一十六分,此限以内月过景必有食也。〈必食者无不食也〉抑此两者皆论实望时之食限耳,若论平望其限尤宽。
如图甲乙为黄道,甲丙当白道,乙为地景心,丙为太阴心,月切景在丁,其最大两半径为乙丙,得一度○


四分二十○秒,则相值之甲丙得一十二度二十八分,为定望食限。设平望尚在前为戊,则戊平望距丙定望最远者二度三十八分有奇为丙戊弧,以加甲丙弧,得甲戊一十五度○六分有奇为太阴切景之时,以其心距两交之度西。

古史多禄某定实望之食限一十二度一十二分,中望之食限一十五度一十二分,其所定视半径最小之食限一十○度五十○分。
何谓平望。距定望最远得二度三十八分,曰太阳均度最大者二度○三分一十五秒,太阴均度最大者四度五十八分二十七秒,并得七度○一分四十二秒为两交时。日月以实度相距极远之弧也,从此太阴逐及于日行,讫七度○二分,此时间太阳又自行三十二分二十八秒,太阴又须逐及更行三十二分,


此时间太阳又行三分弱,共为三十五分,以加太阳均度得二度三十八分为日月之实会望距。其中望也,如上图甲乙为地心所出过本轮心直线,至黄道乙指中会,太阴实行在丙,太阳实行在丁,总丙丁弧七度○二分,太阴行至丁,

太阳已过丁,而前又逐及之终合于己,故丁己弧三十五分加乙丁共得乙己中实两会相距二度三十八分。
太阳食限

表中太阳之最大半径一十五分三十○秒,太阴之最大半径一十七分二十○秒,并得三十二分五十○秒,所谓二径折半也,以此推相值之交常为六度四十○分,是太阳不论视差,不分南北,正居实会之食限也。第日食不在天顶,即有高庳视差,太阴每偏而在下,交会时以此差,故或就近于太阳,或移远随地,随时各各不同,安得以实度遽定日食之限乎。测太阴交食时最大高庳差得一度○四分,
因距远五十四地半径故。

减太阳之最大高庳差三分,馀一度○一分,
此为太阴偏南之极多者,凡日食时必有一方能见其然,是为大地公共之最大差,

以加二径折半,得总视距度一度三十三分五十○秒,外此即无日食,在其内则可食。依前法求食限,得两交前后各一十八度五十○分,为两大视径折半之限也,若以小半径求食限,与前差度并得一度三十一分有奇,推相值之交周度一十七度四十八分为小视径折半之日食限,若日月会入此限内者,日必食。但非总大地能见,必有地能见耳。若以中会论食限,又须加入实会距中会之度,其最大弧三度,则中会有食之限二十馀度。如图甲乙为黄道,甲戊为白道,太阴以实度在己,以视度在丙。太阳乙与太阴丙视相切于丁,则己丙为高庳差,己戊为东西差,而


丙戊为南北差,南北差之最大者一度○一分,以加乙丙为总距度乙戊,若乙丙为大折半,〈二径折半省曰折半〉推得甲戊食限一十八度五十○分,或以小折半乙丙加丙戊得甲戊一十七度四十八分,设中会更在前为辛,得食限甲辛更多于

甲戊。
求北中界日食限

北中界者,地居赤道之北,南不至赤道,北不至北极也。今依南方极出地十八度,北方极出地四十二度,定日食之限,则最广者太阴距南其交常度七度三十一分,太阴距北其交常度一十七度三十五分为可食之限。最狭者太阴距南交常七度,距北交常一十六度五十三分为必食之限。其所繇广狭者,因二径折半有大有小,即相会时所当距度不同,故所限交周度亦异也。太阴分南北而定最大日食之限有二义,其一论地总本界中有一方焉,距北之最大者以十七度为限,又有一方焉,距南之最大者以七度为限。非谓一方所见距北可得十七,距南又可得七也。其一论黄道度为本界中有地,有时太阴或南或北,距天顶最远则其视距度最大。以加于太阴实距度,得其最大限在北可至十七度,在南可得七度,亦非谓诸宫交会皆可得七度十七度之限也。今试于本界中论地,先论其极高四十度者,又于本地论时,先论其不甚远于天顶者,如日月交会在夏至鹑首宫初度,设当时不会于正午,其高庳差变为南北差者必少,而所增视距度亦少,即所得者不为其最大限。必设实会正午,月距黄道北得其高弧七十三度二十八分,以推高庳差一十八分○八秒,全变为太阴南北差。依法加于二径折半得五十○分五十八秒为黄白两道之视距度,则所值交周度得一十○度,为顺天府北极同高地黄道本度。月距北,日食之最大限,可食也。设月距南,则二径折半共三十二分五十○秒,反减太阴南北差一十八分○八秒,得两道视距一十四分四十二秒,所值交周止二度五十○分,为本地本度。月距南,日食之大限,可食也。次论其甚远于天顶者,设日月在冬至星纪宫初度,会亦正午,其高弧二十六度三十○分,推得高庳差即南北差五十六分二十四秒,加二径折半,得黄白两道总距一度二十九分一十四秒。为月实距南所推最大日可食之限一十七度二十四分,所以然者人目所见日月以两心合会,必在太阴所离视道交黄道


之处,距其两道实交尚一十一度。又本南北差减二径折半得距度二十三分三十四秒,相当者得四度三十二分,为太阴尚不及实交,未过黄道南而以视差,故人目所见则已过交出日食限之外矣。如图:丙为太阴,丁为太阳,甲为黄


白两道之实交。论实距度,则日月至甲宜相掩而食,今冬至南北差甚大,太阴之视行循丙乙,视道尚在己,距甲远,即己切太阳周入日食之限,后太阳丁行黄道至乙,与太阴视道相遇,是为视交,即二曜以两心合会能全食。若更前至

辛,日月亦未及,实交甲,太阴实未过黄道,南而视行则已过太阳之南即丙,不能掩日,亦不能切日,不食矣。可见太阴实距北在己,为顺天府同纬地最大食限得一十七度有奇。至辛遂出食限之外,况过甲而后实距南,其视度距太阳甚远,安得尚有食乎。再于木界中论地,论其极高一十八度者,先设日月在冬至星纪宫初度,实会在正午,得高弧四十八度三十○分,高庳差全变为南北差四十一分五十八秒,加二径折半总得两道相距一度一十四分四十八秒,外此无日食。在其内可食,相值之食限一十四度三十二分,其食甚。亦未至实交也,若行至实交,则太阴以视度过交而南四十一分五十八秒矣,以较二径折半,则视距为大,不已出两食限之外乎。安得有食。设日月会于夏至鹑首宫初度,此在天顶北五度三十○分,得高弧八十四度三十○分,推南北差得六分○八秒,以加二径折半得三十八分五十八秒,为太阴入阳历,两道相距度,二曜至此,即以周相切推得日食限七度三十一分,若月距北,则两半径减南


北差馀二十六分五十二秒,仅得五度一十○分,为日食限也,如图:地居夏至之南,目视丙,月则偏北,故太阴之实度在黄道南,为本道上之乙,与太阳之实度丁甚相远,却以南北视差移而就近,及以甲乙为食限,二曜相掩,必未至甲

也。若其过实交甲,至己在黄道北,则因南北差见月更在北,与太阳相距更远,不复能相掩矣。
太阳太阴越六月皆能再食

越六月者,如寅月食申月,得再食也。如左图:甲、丙、乙、丁为太阴离道交黄道于甲、于乙,甲丙乙为其距北半圈,馀乙丁甲为距南半圈,己庚戊辛皆为食限。依多禄某随迤北诸方所定中会时,甲己及乙戊入阴历为日食限二十○度四十一分,〈地愈向北,食限愈大故也〉甲庚及乙辛入阳历得一十一度二十二分,则限外弧己


丙戊得一百三十九度,庚丁辛得一百五十七度一十六分,越六月之中积交周一百八十四度有奇,〈先去全周〉则大于己丙戊及庚丁辛两弧,故初月在食限内与正交相近者。六月后则近中交亦在食限内,而日能再食。若月食不论阴阳

历,其限皆一十五度一十二分,则己丙戊弧、庚丁辛弧皆一百四十九度三十六分,皆小于中积交周度,故初月交周度入己甲庚食限内,后六月又在戊乙辛食限内而月能再食。
太阴越五月能再食越七月不再食

以距月之中积交周度与初月食限外之弧相比,若度赢者,则此食限内能起,彼食限内能止,即两皆有食。若度缩者,则一起一止,或在两食限之外不再食矣。如五平月交周得一百五十三度二十一分,〈去全周己〉月食于高庳中处其实限一十一度三十○分,南北同得限外无食之弧一百五十七度,亦南北同是,皆大于交周弧,则五平月中不可得两食矣。亦有可两食者,则大月也,太阳躔赤道南,在其最庳左右必速行,同时太阴去全周,在其最高迟行,必得定朔策少。月大,交周弧亦大,夫五月之平朔策去太阴全周得一百四十五度三十二分,中分之左右并得太阳均度四度三十八分,又太阴五月自行一百二十九度○五分,中分之以最大加减得其并均度八度四十


○分,太阳均度应加,
实度距最庳左右比平度远故。
太阴均度应减。
设月逐日,实未追及,故
得日月以实行相距总弧一十三度一十八分。为月逐日未及之弧。如图:太阳从秋向春行本天小半周,

以当黄道正半周必速行,以甲乙直线中分其平行,左右各得丙丁均度。太阴在本轮自戊过最高辛,至己迟行,以甲辛平分其迟行弧,左右得壬辛及庚辛均度,日月两均度不同类,一加一减并之得一十三度一十八分,为太阳以实行在前,太阴以实行在后之弧,而太阴逐太阳行一十三度,此时间太阳更行一度○六分,以并于太阳均度,总得五度四十四分,为五大月过五平月之度,亦为实交周过平交周之度,以加平交周一百五十三度二十一分,得一百五


十九度○五分,较食限外之弧赢二度○五分。则月食于甲乙限内,为壬距乙甚近,而限外交周度壬庚越五月复可食于庚。然食之分数少矣。又證太阴越七月不能复食者,则小月也,月大或平,即交周弧大于食限外之弧,不可得食。


今太阳在其最高,左右迟行,太阴在其本轮最庳,左右速行,因而成小月。夫七月之平朔策得二百○三度四十五分,同时太阴自行一百八十○度四十三分。如图:甲乙分日月平行,甲辛分太阴自行,太阳左右各得最大均度丙丁,并

为四度四十二分,应减,
实度距最高左右比平度近故。

太阴均度壬辛及庚辛并为九度五十八分,应加。〈设月以实行过太阳故〉一加一减并两均度得一十四度四十○分为太阴过太阳之弧,此时间太阳亦行一度一十分,以加其均度得五度五十五分,是为七小月间实行不及其平行之度。又为七月间交周平行之弧所减,以成七小月实行之度。今以平行二百一十四度四十二分,去减五度五十五分得二百○八度四十


七分,以加于食限外之弧,
此第论太阴在其高庳中处。甲丙左右四食限
为戊乙壬或己庚丁,仅得二百○三度,小于七小月之实交周二百○八度有奇,则月初食在戊丁限内,后七月不能于己壬限内再食也。


太阳越五月或七月,皆能再食
此越五月能再食者必大月也,其间交周实行可得一百五十九度○五分,设日月在高庳中处得二径折半三十二分二十○秒,设太阴距度亦正得三十二分二十○秒,则以前法

求得距交六度一十二分,当在乙或在丁,而乙丙丁弧乃得一百六十七度三十六分,若太阴绝无视差者,即食限外之弧乙丙丁大于实交周弧八度三十一分,日月合会,先在甲乙弧内有食,越五大月复会,必不能及丁戊为再食矣。然太阴既有南北视差,则以交周度不及食限内之弧八度三十一分,平分之两加于食限,得甲己及戊辛各一十○度二十八分,而太阴在己或在辛皆距黄道五十四分三十○秒,减二径折半馀视差二十二分三十○秒,倍之,得己及辛两视差共四十五分,则诸方能得南北差及此分者,所见太阴必偏南下掩太阳得有食也。今所论五大月,太阳速行先于太阴一十三度一十八分,又于太阴逐及时间行一度○六分,总得一十四度二十四分,太阴行尽此度乃及日,须一日○九刻,是为五大月过五平月时刻,则五大月得一百四十八日一十八小时,故先定朔在酉正,后必在午正,若先在午,则后在卯,又太阳五大月行一百五十一度以最庳,平分左右得先定朔在寿星宫二十一度,次定朔


在娵訾宫二十一度,诸方地面得极高二十馀度,见太阴离是二壤,值是二时。南北视差并得四十五分,则越五月得再食。此外极出地愈高,南北差愈大,食限愈宽。凡交周在黄道北,入甲己食限,越五大月必入辛戊食限,人居赤道北


者,可见两食或;交周在黄道南,入戊壬食限,越五大月必入庚甲食限,人居赤道南者,可见两食。
谓太阳越七月而再食,则小月也,否则交周度大于正交及中交之总食限,而先在内后必在外,不食矣。若七小月间交周行依前,

得二百○八度四十七分,而设无南北差者,则以日月两半径为食限,得甲乙及戊丁各六度一十二分,而总乙己丁弧一百九十二度二十四分,小于交周一十六度二十三分,即太阳先食于丁戊限内。越七月后必己出甲乙限外,亦不食也。既常有南北视差,则以较馀交周弧一十六度二十三分,平分之以加于甲乙及戊丁,得甲壬及戊癸二限各一十四度二十三分,而壬己癸与交周弧相等,又甲壬及戊癸一十四度二十三分,得相值之距度一度一十三分三十八秒,减二径折半得四十一分一十八秒,为各视差倍之得一度二十三分,则诸方有此视差者得有食也。今所论七小月,太阳迟行后于太阴共一十四度四十○分,为太阴一日五小时所行之弧,是一日五小时者,七小月不及七平月之时刻也。总七小月得二百○五日一十二小时,故越七月得再会。先会在卯,后会必在酉。又太阳行七小月,实得一百九十八度。〈前已證〉从最高平分之得,先会太阴在娵訾宫二十七度,后会在寿星宫一十五度,则凡离是二壤值,是二时所见。太阴南北视差并得一度二十三分者,必越七月得再见日食也。此为极出地三十四度以上,盖距赤道愈远,视差愈大,所见食分愈多矣。
食分第二〈凡四章〉

欲知此月内有无交食,则以食限求之。〈见上文〉欲知此食食分几何,则以距度求之。距度者,在月食为太阴心实距地景之心,两心愈相近,月食分愈多;在日食为日月两心以视度相距,其近其远皆以目视为准,不依实推,盖定朔为实交,会天下所同。而人见日食,东西南北各异,所以然者,皆视度所为也。日食详说见后篇,此先解月食分,则论定望实,会人所见者,东西九服各异,南北天下不殊也。如左。
太阴食甚分数

太阴在食限内过地景,其两心最相近时为食甚,而食分必多,欲知食甚之处,用距度求之。盖距度与地半景及月半径相减得月入景之分。
此言分者,天周度数之分,非平分月径之分也。称分有二类,见下二文。

如两半径得一度,距度四十○分,相减馀二十分为所求月入景之分也。但距度与半景或等或不等,若过不及之分小于月半径,则月不全入景而止,食其半或太半或少半而已。若距度小于半景者,为太阴之正半径,则虽全食,随复生光,其食分即太阴之全径。以月自行推之,若绝无距度,即太阴遇景正在两交,则并其两半径可推月食之分也。
假如甲乙为地景,
定望时月入此则失光,亦名闇虚


之半径。乙丙为太阴半径,总得甲丙为月食限限者,乙点为二周相切之处,食从乙点起渐入渐大,若两周相分于乙点,则不食也。食有三等:一曰不全食、二曰全食、三曰正食。不全食者,如一图:甲丁为黄道,丁辛当白道,月心在辛,即入


景者半,是为半食;或月心在庚,则如二图,入景者大半,是为大半食;或在戊,则入景者少半,为少半食,皆不全食也。求食分法,以距度减二径折半,如图:甲己与甲丙等,为二径折半,甲戊为距度,以甲戊减甲己,馀戊己,戊己与辛庚恒相


等,故于二半径减距度即得其入景,辛庚为此食之分也。全食者,如三图:月心在戊,距度甲戊两道如前,而距度入于半景者为太阴之半径戊己。则己庚入景之分为全径,但全入以后,太阴或向交行欲至丁,或离交行欲至辛,其周旋出景外,则无既内分矣。


以上二者皆有距度,则皆不食于交点,皆偏食也。若第四图:太阴食甚时绝无距度,则月心与景心皆会于甲,甲乙为半景径,甲戊为半月径,两半径并为甲丙,设甲乙丙为黄道,甲丁为白道,太阴从丁行,以戊

边至甲己,全入于丁甲半景之内矣。又行至边及戊乃食甚,故更得甲戊为既内分,总得丁戊两半径并为此食之分,此月食之最大食于交点者也,正食也。
食分二类

求食分之大几何有二类。其一为天周度数之分,如上文所论者皆是也。月食之最大者,可得一度○四分有奇。其一为太阴本径之分,则惟历家所命。如命月体之全径为十二平分,则最大食得二十二分五十四秒也。如命为十平分,则最大食得一十九分○五秒也。又此二类者,皆系太阴及地景之视径,虽距度同分,而大小多寡,犹多变易,设距度恒为二十五分,因太阴自行在最高,得月食度数之分为三十三分一十五秒,太阴在最庳,得食度数分为三十九分二十○秒,其自行在一宫或在一十一宫,〈俱近最高〉得三十三分三十八秒;在二或十宫,得三十四分三十六秒;在三或九宫,得三十六分;在四或八宫,得三十七分三十○秒;在五或七宫,〈俱近最庳〉得三十八分四十五秒。如前法,以太阴半径半景并每去减二十五分即得此食分之数。他距度依此推之,其所繇渐渐有差者,则因太阴距其最高愈远,即视径愈大故也。又平分本径亦有多寡、有大小,盖太阴在最庳,其全体之天度分为三十四分四十○秒,得平径一十○分。设食甚正在交点无距度,则二径折半得天度一度○四分二十○秒,推总食之平径分,得一十八分三十四秒,而一平径分当天度三分二十八秒。又设太阴在高庳之中食甚,距度如前,其平径亦一十○分,以两半径推总食得一十八分四十四秒,而一平径分当天度三分一十五秒,与前不同,则以视径故,更设太阴在最高,其视径更小,仅得天度三十○分三十○秒。食甚在交,皆如前,亦得平径一十○分,而所推总食分更多于前,为一十九分○五秒,则一平径分当天度三分○三秒,可见距度同平分,径同而食分不同者,月自行有高庳,其去地之远近异,视径亦异故也。
求月食径分

太阴入景,以本径分明暗之限,为人目所见之分。若


全食,更加入景之馀分,〈即既内分〉推得总食分,则距度能翕张,其二径为食分多寡之缘也。今或依第三卷所定太阴及地景视径表,用引数求之,并而去减其距度,则太阴视径与十平分;若其二半径减距度之馀分与食分;或依第二卷前


所设求太阴均度之图,用甲乙丁三角形求之,盖乙甲丁太阴均度角之正弦与乙丁直线,若甲乙丁总自行馀弧角之正弦与甲丁直线,既得甲丁为太阴,距地远次求太阴视径,则其距地远,甲丙与太阴实径之正弦,丁乙若全数与

丁丙乙角之切线,次以太阴半径与地半景大小之比例,为一五○与四○三,推地景视半径盖一五○与四○三,若太阴视半径之正弦与景视半径之正弦也。既得视半径用三率法。如前推算,食分欲用表则于引数查视半径,而以月视径及两半径减距度之馀数,查食分然表中列数。从引数出其理一也。
求月食面积分

前论月食分皆目可见,器可测之,视径分也。若求其不全食之面,入景之分则有别法。设甲为地景之心,


乙为太阴之心,以距度得其两心相距为甲乙直线。又先得甲丙为地景视半径,得乙丙为太阴视半径。则甲乙丙三角形内有其三直线,可求三角。又甲乙丁三角形与甲乙丙三角形等,则以丙甲丁总角得丙戊丁弧。亦以丙乙丁总


角得丙己丁弧。今欲以径与圈之比例,推丙戊丁及丙己丁两弧,与其本圈半径同类之分若干。
弧曲线与直线异类,以周径法变曲线分为直线分,故曰同类。
其法以甲丙及丙戊得景中丙甲丁两半径弧形。
两半径弧形者,两半径为两腰,弧为底,求得其容积也。说见《测量全义》第三卷

亦以乙丁及丁己得月上丙乙丁两半径弧形,又丙丁直线为等腰,两三角形之公底线求其半,得丙辛以乘甲辛,得甲丙丁三角形之积,以乘乙辛得乙丙丁三角形之积,次以两三角形之积各减其两半径弧形之积,所馀丙,戊丁己长圆形,为太阴入景之面。可得其馀,不入景之面也。
假如崇祯五年壬申九月十四日夜,望月食四分四


十二秒食,甚太阴距度四十四分其视半径一十六分二十五秒,地半景四十三分二十三秒,设甲乙为距度,乙丙为月半径,甲丙为景半径,则最大线甲乙与馀两腰线甲丙丙乙,若两腰线相减之馀,线甲丁与大线之分也。即算得大


线之分甲戊,以其馀平分之为戊辛辛乙,次从丙作丙辛,必为甲乙之垂线矣。既得各线如图皆通为秒。以求甲角及乙角,则甲辛与全数十万若,甲丙与丙甲辛角之割线,算得甲角二十一度四十○分倍之,得四十三度二十○分为

丙戊丁地景之弧。又辛乙与全数若乙丙与辛乙丙角之割线,算得乙角七十七度○六分。倍之得一百。五十四度一十二分,为丁己丙太阴周之弧。次求其各与本圈半径同类之分,则月径及地景径各与其本周若七分与二十二分也,推得地景周一六三六一月,周六一九一,因此用丙戊丁及丙己丁两弧各求其本圈径,同类之分,则全周一六三六一与所截丙戊丁弧之分,若全周三百六十度与本截弧四十三度二十○分,算得一九六九为丙戊丁弧,其半九


八四为丙戊半弧也。又太阴全周之分六一九一与丙己丁弧之分,亦若三百六十度与本截弧一百五十四度一十二分,算得二六五一为丁己丙弧,半之,得一三二五为丙己半弧也。次以甲戊乘丙戊,得丙甲丁地景两半径弧形之


积二五六一三五二。以乙己乘丙巳得丙乙丁太阴两半径弧形之积。又丙甲辛角之切线。〈乙丙也〉与丙辛若全数。〈甲丙也〉与甲辛得丙辛九六○,则彼此求两等边起线三角形之积,与求两半径弧形之积通为一法。得甲丙丁三角形之积

二三二二二四○。乙丙丁三角形之积二一一二○○。各减其两半径弧形之积,得丙辛丁戊分圈形之积二三九一一二。丙己丁辛一○九三九二五并之,得总数一三三三○三七。即丙己丁戊全形之积也。又以太阴半径九八五乘其半周三○九,得三○四八五七五,与总数比,得太阴入景之面,与其未食之面,若一十三分与三十○分也。
食甚前后时刻第三〈凡三章〉

食甚前,初亏也。食甚后,复圆也。两限间之,时刻多寡,其缘有三:一在太阴本时距度。因距度或多、或寡,每食不同,即太阴入景浅深不同,浅则时刻必少,深则时刻必多;其二在月及景两视半径。半径小,太阴过之所须时刻少,半径大太阴过之所须时刻多;其三在太阴自行。自行有时速,有时迟虽则距度同、视径同,而自行迟疾不同,即所须时刻不同矣。推距度及视径皆依前所设法,此专求太阴实行以定食时刻分。
月食起复行度


太阴入景,自初亏至食甚之弧,与其出景自食甚至复圆之弧,两者略相等。故求其一,倍之,得在景之总弧。如图甲为景心躔,甲乙黄道,乙丙为白道。太阴心至丁为初亏,在丙为食甚。复圆在戊丁。戊者,天周之弧也。而所截弧极小,故作


直线用之,又甲乙丙三角形也,而乙角极小,乙丙与乙甲略等,故作平行线用之。因而甲丙可为垂线,因而丁丙与丙戊亦可为等。今自甲出两直线为甲丁、为甲戊。皆当太阴地景之两半径,而甲丙为太阴距度,故甲丁戌三角形以甲
丁方减甲丙方,得甲丁方其根为太阴初亏至食甚
行过太阳之弧。若不用开方,则有别法以角求对边线。如甲丁线与丙直角,若甲丙线与甲丁丙角既得,丁角馀为丁甲丙角,则丙直角与甲丁线,若甲角与月行景之半线,丙丁也。虽食分不同,或半月入景,或全体在景,求初亏至食甚之弧恒仿此。次求食既至食甚亦仿此,倍之,得太阴全入景至生光及复圆之总弧。如左图,甲乙为黄道,乙丙为白道,太阴心行至丁则全入景,既至戊即生光,得丙丁及丙戊略相等,


故先得丙丁,倍之,即丁戊也。此则以甲丙为距度,甲丁为地,半景减月半径之馀于甲丙丁三角形,用此两线及甲丙丁直角,推丙丁线,与前同法。若欲精求之,不听甲乙、乙丙为平行,仍作两线斜交于乙,太阴初亏在丁,食甚在丙,复圆


在戊,丙丁是太阴在景之半。为距交一十二分之一。即作丁庚线与甲乙平行,取丙庚亦丙甲距度一十二分之一,以减甲丙得甲庚,是太阴初亏之距度。以加甲丙得甲己,是太阴复圆之距度。次以甲丁、甲庚两线及庚直角求得庚丁

线,以庚丁、庚丙两线及庚直角求得丙丁线,为初亏至食甚行度。后以甲己甲戊两线及己直角求得戊己线,以戊己、己丙两线及己直角求得丙戊线,为食甚至复圆行度也。
食甚距度线与白道当为垂线

求食时刻。设太阴食甚前行度与食甚后行度等。即距度线必当为白道之垂线。不然者,必行度前后不等,而时刻亦不等。如左图,甲乙为白道,甲丙为黄道,太阴在丁,自庚黄极出线,过丁月为庚丁弧,至戊黄


道,指太阴实度在戊,因太阴在丁,得交常分甲丁,而庚丁与庚乙,若甲丁与甲戊,〈皆用正弦算〉若得甲丁四十五度,与甲戊最差之限得六分。
甲戊少于甲丁,在图为己丁。
若甲丁在食限内其与甲

戊差又不及三分矣,因两道之最大距不过五度,故也设甲丁弧得二十○度,而以甲乙与乙丙之比例,推甲丁与丁戊,得丁戊距度一度四十二分。今作戊己与甲乙为垂线,又以甲丙与丙乙之比例,推甲戊与戊己亦得戊己相距一度四十二分。可见丁与己见有差。戊己与戊丁有微差不足见也。今不用戊丁开方而用戊己,又以戊己平分,太阴入景与出景之弧,其不得有差甚明矣。
太阴食在景时刻

前第二卷论月食以食甚时为主,于食甚前之初亏至食甚后之复圆,总推定时刻分秒,其法以太阴在景中行度变为时刻。如先得食甚前行度,求所当初亏至食甚时刻,倍之,得其馀行度。亦变时刻,皆依先所定行度,用比例法推算也。如崇祯五年壬申三月望太阴初亏至食甚行四十○分一十六秒。欲变时用三率法,太阴行三十三分一十一秒得一小时今四十○分一十六秒,应得一时一十二分四十三秒。但太阴自行恒异,平行食时间恒,不居本轮之一处。故所用一小时之行分,以定食间行之时,不得用平行必须考将食之实行,查太阴实行时表法,恒以自行宫度得一小时之实行,每度所值,各各不同,如太阴平行一时得三十○分二十九秒,以本时自行求均度,或加、或减,于平行得实行,若加减度表对,自行初宫三十二分四十○秒,得均度二分四十六秒,以减三十○分二十九秒,得二十七分四十三秒,为表中相当引数,初宫初度之率也。加减度表对自行一宫三十二分四十○秒,得均度二分二十五秒。以减一小时之平行,馀二十八分○四秒。为相当引数,一宫及一十一宫之率也。其馀皆仿此第,自行在本轮最高,左右必减,均度得一时之实,行在最庳,左右必加,均度得一时之实行耳。
既以实行推定总时刻,则以食既至食甚之时减先定食甚时刻分秒,得食既时刻分秒,以相加得生光时刻分秒,又以减食甚前总时,得初亏,以相加得复圆。又以初亏减复圆,得总食之时刻分秒。若初亏在子时前,复圆在子时后,则即以丑初为十三时,{{Annotation|午正起算〈用小时〉丑正为十四时,如是接续减之。
交食图义第四〈凡三章〉

求日月失光之面向何方位,则有两缘:其一从太阴距黄道度作大圈,令过太阴、太阳两心。〈此日食也〉或太阴与地景两心,〈此月食也〉下至地平周遭,移指交食所向之方也;其二黄道斜交于地平,日月随之行,遇食必有时向东、南、西、北,有时向东、北、西、南也。欲绘交食图,必先察日月所向、起复方位,第旧法祗以阴阳二历分别南北殊粗率,今法必可得其度,分颇为繁细耳。


距度变日月食所向方位
太阴食起复之间,以本行屡迁其度分,即作过两心。〈月心地景心也〉大圈至地平时刻各异,所向方位亦时刻各异,欲尽推之其多无数,故当求其初亏、食既、食甚、生光、复圆五向而止。如图,甲


为地景心,甲乙为黄道,戊丙为白道,两道之大距不远,故作平行线论初亏,太阴在丙,食既在丁,食甚在戊,即甲丙、甲丁、甲戊皆过月地景两心之弧,因太阴渐近于地景心,甲其距度远近,渐次不同,而乙甲丙角、乙甲丁角、乙甲戊角之

小大亦不同,则太阴所向地平之方位度分亦不同。故恒以本距度推本角,如甲丙初亏之距为半景月半径并之,甲丁食既之距为半景减半月径之,甲戊食甚则为太阴之正距度也。甲戊丁角可当直角,不论其甲戊线与甲丙戊对角,若甲丙线与丁戊甲直角,得甲丙戊角与乙甲丙角相等。〈乙甲丙为所求〉又甲丁戊三角形,依此法推甲丁戊角与乙甲丁角〈此为所求〉相等。而食甚乙甲戊为直角,故在甲诸角,其线不等。即所向方位不等,论日食则甲丙为日月两半径,甲戊为


太阴距太阳食甚之视度,以求甲丙戊角向下,皆同前法,今更作图,甲为景心,乙丙为黄道,若太阴初亏在乙,其入景之面必正向东,若复圆在丙。
初亏在乙,复圆必不在丙,故曰若指他食也。
其出景之面必正向西,皆

无距度,故若其距北在丁,或在戊,即入景之面向东南、或西南,若其距南或在己、或在庚,即入景之面向东北、或西北也。论日食设甲为太阳心,其理同此,但出入之面所向与月食所向正相反,此为异耳。
黄道出没变日月食所向方位

黄赤两道之两交切地平,若一在正卯,一在正酉,不偏南北,即诸方俱无阔度矣。外此或黄道距南、或距北,其距渐多,其出没之阔度去离卯酉亦渐多。又南北极愈高,其相离更远,如北极出地三十六度,黄道度去离春秋分、或南、或北一宫,其阔度左右各一十四度一十五分。若去离二宫,则更远,其阔度各二十五度一十三分,最远者得二十九度二十九分。若北极出地四十度,即一宫得阔度一十五度○四分,二宫得二十六度四十五分,最远则三十一度一十九分也。太阴既随黄道行其食也。亦必依其阔度,则起复之所向方位,太阴亦必依阔度之左右也。今欲定其多寡,如左图,南、西、北、东为地平圈,丁甲戊为黄道,食时得阔度戊距正东,若干太阴心在丙,景心在甲,


过两心之庚甲己,大圈指己,因戊黄道度距正东远,己随之距正东亦远,而丙月之初入景所向为己也。今求东己弧。先设辛为天顶出高庳弧,过甲至壬为顶极圈,又作一癸午弧与甲庚为直角,次甲乙丙小三角刑有乙丙距度、有甲

丙两半径、有甲乙丙直角,依比例推得甲角,次以食时及甲景所躔黄道度得戊甲辛角。即得其馀辛甲乙角,又得辛甲乙所分之辛甲午角。〈减乙甲丙小角〉次甲辛午三角形有甲角,有午直角,又以北极高及黄道,距赤度得甲辛弧,可推得辛午线,以加辛癸象限,得午癸总弧,为午己癸角,其馀角为甲己壬也。而己甲壬为辛甲午之对角,甲壬为辛甲之馀弧,因可推壬己弧。又戊甲壬三角形有原推之甲戊,有甲壬戊直角,有乙甲辛相对之壬甲戊角,因可推壬戊弧,去减先得之壬己,馀己戊为所求太阴初入景所向东南维之地平经度。以加初所得东戊弧,则得东己总弧。
月食图

西历恒推日月食所向方位,以其所亏及复圆距度作图,求距度。食甚前与食甚后为一法,以太阴自初亏至食甚之实行加入太阳同时所行分秒,得太阴初亏至食甚在景之总分。以加前所定食甚交常度,得复圆交常度,以减得初亏交常度,次求初亏距度,则全数与其交常度。若黄白之大距度与其距度,求复圆距度仿此。
假如崇祯五年壬申三月望太阴初亏至食甚景中行过太阳四十○分一十六秒,为时四刻一十二分四十三秒,同时太阳行二分五十七秒,以加前行得四十三分一十三秒为太阴在景之总行,其食甚交常度为过中交八度三十五分五十八秒,以加太阴总行四十三分一十三秒,得复圆交常度一十○度一十九分一十一秒,其正弦一七九一四,以减得初亏交常度七度五十二分四十五秒。其正弦一三七


一○,算得太阴初亏距度四十一分,复圆四十九分三十○秒。若用表以时分查太阳本行以交常度,查太阴距度更易得矣。欲依本食作图,其外大圈之半径为月半径、地半景,并得一度○四分三十二秒。


量用比例规或先平分一直线
内取食时,所得地半景,
此为四十六分三十五
秒。
作内圈以当景,次查距度,此食在南,初亏四十一分。复圆四十九分,得太阴初在乙,后在丁,食甚亦依其

距度在丙为食之定,分图上、下、左、右书四方,其起复所向方位,必与天合也。〈以上原本历指卷十二交食之四〉
视差以人目为主第一〈凡四章〉

前言实会中会视时食限等,皆日月食之公法也。是皆准于地心。今再论月食生于地景,景生于日,故天上之实食,即人所见之视食,无二食也。日食不然。有天上之实食,有人所见之视食,其食分之有无、多寡,加时之早晚、先后,各各不同。推步日食难于太阴者,以此其推算视食,则依人目与地面为准。
视会

凡交会者必参相直,不参直不相掩也。日之有实食也,地心与月与日参居一线之上也。其有视食也,人目与月与日参居一线之上也。人目居地面之上,与地心相距之差为大地之半径,则所见日食与实食恒偏左、偏右分为两直线,各至于宗动天其所指不得同,度分是生视差而人目所参对之线,不得为实会,而特为视会。
如左图,甲为地心,乙为地面,丙为天顶,若丁为日,戊


为月,即在甲丙一直线上。则实会,即为视会。因地心与人目无分线,故也若日在辛,必月至壬,方与地面乙作一线为视会矣。若月至己,与地心甲作一线则实会也。今言交食惟以目见为凭,故日食全论视会若所居地面不同,即食分


多寡,加时早晏,亦随之异也。又视会实会在日月,本天皆无度分可指,而全依宗动天之黄道圈度分,则此实会线所指,谓之实度,视会线所指谓之视度,如图甲辛线所指为黄道之庚,则庚为太阳之实度,若乙目视辛日至黄道,癸视

己月至黄道,午则癸为太阳之视度,午为太阴之视度也。
日月目见之度非实度

譬之画图者作平圆形,则一举手一运规即得矣。若欲为螺旋线,先须依法作识,又依法作线,乃成形焉。测天之法亦犹是耳。今欲知日月躔离东、西、南、北,亦转仪窥表一览可知,若欲定其本行所在,则非聊一寓目遽能得之。必先后累测度分展转较勘乃可定也。假令目居地之中心,〈地之心即宗动天之心〉极目所见,则有恒星以当彼界。两界中间有日月、五星,是名七曜,七曜相视,有远有近,无有同者,即论一曜亦各,时远时近,无时同者,是则目所能见也。然因目所见得其视度于彼界,因以视度测其与某恒星相距若干度分,因以是度推其实与地相距若干远近,则可,谓即目所见,遂得其实,行能分别其去地远近,则不可,何者七政。诸本天虽居恒星,天之内乃不见火木土等内天之星,以本体能掩最外之恒星,则何从辨其内外远近乎。又目所见者太阴、太阳二体相若,何从知其内外之相,距绝远二体之小大,绝不相等乎。内天之两星参对于外天之两经,星目见之能知外者之两相距甚远,内者之两相距不甚远乎。是三者皆目力难凭之效也。或曰:是则然矣。测量之法皆凭目所见也。则可废乎。曰:何可废也。惟测内天之星得彼界所指之点,以为即在恒星之天,聊可得之矣。何者凡用在界之弧以测其辏心之角,无弗真者。目测恒星之天,其在地面与其在地心也,无以异。
地居恒星天中止当一点

若测内天诸曜目,虽不在地心,相距亦不甚远。故测日月五星于彼界上得点,即与实度相近。
曰:聊可得之。曰:距不甚远。曰:近其实度,皆因有地半径视差故。

但恒星有时不见,或与内天诸曜不相值,故历家以地平代恒星,更用远视之器以助目力,得日月五星之视度分,依法推步,乃正得其实度分矣。
人视差

两目存不惟相助以为明,相代以备患,亦能彼此互用,以察物之远近,盖各以其心〈目睛最中之一点为心〉受外物之象,其过心之两直线,至物体则相遇为两腰,两睛心自相距为底,成三角形。因以其比例之大小,别物距目之远近,是谓目差。缘此,可推天上之视差以小喻大,其理一也。若物大,远于人,目则底线极小,两腰极长,是过睛心之两径线与平行无异。正如地球比恒星天之高,特以一点为底,视差无所繇生矣。如左图,两目之心为甲、为乙,目所视之物为丙,若甲乙线可比于甲丙线,〈可比者不甚远则有比例〉则两戊己径线渐


相就如己,而相遇于丙,若物更相近为丁,则两径速相就为辛庚。
甲乙丙及甲乙丁两三角形皆等边,又同一底线,则丁角大于丙角,而丁甲乙角必小于丙甲乙角。
而两目之光线皆从己敛

向于庚,自觉所视之物变远为近矣。若物与目相去甚远,则无比例者,因两径绝难相就、绝难相遇,故也。今借此理明视差之公理。如本图,设丁物之前有横堵为壬癸,令甲目独视丁物,则所见若在壬令,乙目独视丁则所见反在癸,而丁前、丁后两交角形必相似,即丁物亦不远于壬,不远于癸,盖视之目分两线为交角,即能分本物之远近也。若不能分两线,即不能分远近。
地半径差

目视星欲辨六曜,〈月五星也〉恒星之内势不能也,则当借地体之大,补目力之不及。法用地半径为底,以推测量所指之界,即可得七政远近、上下,各居本天之实处。如左图,甲乙两目相距为底则二寸耳,今以两地相距数千里或数里,当之以为底,如甲为顺天府,乙为广州府,丁为太阴。两人同测之,一在甲,一在乙,因此大底之远近比于各距太阴之两腰,得大小之比例,则甲丁及乙丁两直线必觉彼此相就以趋于丁矣。再使壬、癸为列宿天之两恒星,


或壬癸为太阳之全体,壬当其南周,癸当其北周。
测者一从甲见太阴,丁若在壬以本体合于一星之体。
或太阴之南周,齐太阳之南周。
一从乙测太阴反在癸,转


就北以合于他星。〈或太阳之北周〉若甲乙两测之距愈相远,即所见丁月两指之极高,亦愈相远。
一偏南,一偏北,东西亦同。
而人在甲能见太阴掩日,为日食。人在乙即不可得见矣。以此壬癸当宗动天
上之弧,正所谓视差与前言目见之小视差,其理一
也。第两人相距千里、万里,同时并测太阴其势甚难,故立别法代之。
详见本书第六卷下文略言之。

假令人正居地心,推其所得太阴距天顶应若干度分。又同时居地面者,实测太阴距天顶得若干度分,两度之差即所谓视差也。如图,甲乙丙为地球,丁为天顶,甲戊丁直线所至也。若太阴在此线左,右为己,从甲地心测月,见之当在庚。自地面乙测之,乃在辛。


则先推定丁甲庚角或所当之丁庚弧,后推丁乙辛角或所当之丁辛弧。
乙距甲与乙距丁无比例,甲乙至小故。
以两角或两弧相减,得视差之弧庚辛。
问一星距天顶,测其宗动天上所指度分,在地心测


之则距近,在地面测之则距远。若论角则地面之乙角大于地心之甲角。何以證之。其故何也。曰:因其一远一近。如图,太阴在本天,其距顶之弧为己戊,己戊之距,地心甲与其距地面乙远近之差,则目所能识也,所能分也。


因地之半径与月本天之半径有比例故。
则目之在甲与在乙所受己戊弧之象实不能无大小为己戊弧等,而两角之大小不等。
目受物象皆以角形,见交食第一卷。
相近者必大,远者必小也。

角既有大有小,所相当之弧不得不有大小,则辛之距天顶视庚之距天顶不得不远矣。又论辛庚视差实为辛甲庚角,所定何用辛巳庚或甲己乙角乎。曰甲乙线与甲庚线无比例。〈小大绝远故〉而甲乙与甲己则有比例,即甲己与甲庚亦无比例也。既甲乙与甲己同为微末,不以入算,则用辛巳庚角代辛甲庚角无以异矣。若论角,则丁乙辛角与丁辛弧相当。〈因甲乙与乙丁无大小之比例〉又丁乙巳角与乙甲己及甲己乙两角并等。〈见几何第一卷十六题〉则两角并亦与丁辛弧相当矣。今丁庚弧既与丁甲庚角相当,则馀弧庚辛必与馀角甲己乙或辛巳庚相当也。