推步之學，由疏漸密。泰西新法，晚明始入中國，至清而中、西薈萃，遂集大成。聖祖聰明天亶，研究曆算，妙契精微。一時承學之士，蒸蒸鄉化，肩背相望。二百年來，推步之學，日臻邃密，匪特闢古學之榛蕪，抑且補西人之罅漏。嘉慶初，阮元撰疇人傳，後學一再續之，唐、宋以來，於斯為盛。今甄其卓然名家者著於篇，其政事、文學登於列傳及儒林、文苑者；西人官欽天監，廁於卿貳，各自有傳者：不具列焉。

薛鳳祚

薛鳳祚，字儀甫，淄川人。少習算，從魏文魁遊，主持舊法。順治中，與法人穆尼閣談算，始改從西學，盡傳其術，因著算學會通正集十二卷，考驗二十八卷，致用十六卷。其曰對數比例者，乃西算以假數求真數之便法也；曰中法四線，以西法六十分為度，不便以十進位，改從古法，以百分為度，所列止正弦、餘弦、正切、餘切，故曰四線。其推步諸書：曰太陽太陰諸行法原，曰木火土三星經行法原，曰交食法原，曰歷年甲子，曰求歲實，曰五星高行，曰交食表，曰經星中星，曰西域回回術，曰西域表，曰今西法選要，曰今法表，皆會中、西以立法。以順治十二年乙未天正冬至為元，諸應皆從以起算。以三百六十五日二十三刻三分五十七秒五微為歲實，黃、赤道交度有加減，恆星歲行五十二秒，與天步真原法同。梅文鼎謂其書詳於法，而無快論以發其趣，蓋其時新法初行，中、西文字輾轉相通，故詞旨未能盡暢。然貫通其中、西，要不愧為一代疇人之功首云。

鳳祚定歲實秒數為五十七，與奈端合，與穆尼閣以為四十五秒者不同，則其學非墨守穆氏可知。或譏其謹守穆尼閣成法，依數推衍，非篤論也。

杜知耕

杜知耕，字端甫，號伯瞿，柘城舉人。精研幾何，以利瑪竇、徐光啟所譯幾何原本復加刪削，作幾何論約七卷，後附十條，則知耕所作也。言其法似為本書所無，其理實涵各題之內，非能於本書之外別生新義也。稱後附者，以​​別於丁氏、利氏之增題也。又雜取諸家算學，參以西人之說，依古九章為目，作《數學鑰》六卷。言數非圖不明，圖非指不明，圖中用甲乙等字作志者，代指也，故其書於圖解尤詳。梅文鼎稱其圖註九章，頗中肯綮雲。

龔士燕

龔士燕，字武任，武進人。少穎異能文，講求性理，旁通算術，發明蔡氏律呂新書，推演黃鍾圜徑、開方密率諸法，而於元太史郭守敬授時術尤得其秘。如求冬​​至時刻，上推百年加一算，以為歲週三百六十五日二十四刻二十五分之內，滿百年消長一分。核之春秋日食三十七事，多與符合。又如推晦、朔、弦、望，以太陽之盈與太陰之遲，以太陰之疾與太陽之縮皆相並，為同名相從；以太陽之盈與太陰之疾，以太陰之遲與太陽之縮皆相減，為異名相消：乃得盈縮遲疾化為加減時刻之差。以此加減朔望之大、小餘分，得定朔弦望諸時刻。至盈、縮、遲、疾，郭守敬創平、立、定三差，理隱數繁，能審其機括，繪圖以明之。

又如赤道變黃道之法，謂在二至後者，以度率一零八六五除赤道積度變為黃道宿度；在二分後者，以度率一零八六五乘赤道積度變為黃道宿度。凡此授時之術，引伸益明。其餘月離五星等法，與回回、西洋諸算，遇有疑難，無不洞悉。至日、月體徑有大小，交食限數有淺深，具見其奧。且悟唐順之弧容直闊之法，以推求太陰出入黃道，在內在外，不離乎六度。自是一應七政、氣朔、交食諸端，按法而推，百不失一。

康熙六年，詔募天下知算之士，於是入都。其時欽天監用大統算七政多不合天，奉旨在觀像台每日測驗，而金星比算差至十度。因修改古法，乃據七年所測表景推測太盈縮，又據日測五星行度，考其遲疾。彼此推求加減，氣、閏、轉、交諸應，測驗皆與天合。蓋其法亦本郭守敬，太陽為氣應，推冬至日躔用之；太陰週天為轉應，朔望用之；日月地球之運，同在一直線，視點上為交應，推日月食用之；合氣盈、朔虛之奇零為閏應，推閏月用之；此外又有金、木、水、火、土同聚一宿為合應，推五星用之。

修改諸應，取順治元年甲申為元，以應世祖章皇帝撫有中夏之祥，欽天監名為「改應法」。既改氣、閏、轉、交諸應，復改遲、疾限及求差諸法，又改冬至黃道日出分依步中星內法。又盈縮遲疾無積度，日食無時差，皆與天合。台官交章保薦。八年，曆書告成，奏對武英殿，授歷科博士。時有薦西人南懷仁等於朝，及其實測諸術，驗且捷，遂定用西法，而古歷卒不行。

十年，以疾歸，著有像緯考一卷、歷言大略一卷。其天體論一卷及闇虛、中星、交食、定朔、五星諸論俱佚。

王錫闡

王錫闡，字曉菴，吳江人。兼通中、西之學，自立新法，用以測日、月食不爽秒忽。每遇天晴霽，輒登屋臥鴟吻察星象，竟夕不寐。著曉庵新法六卷，序曰；「炎帝八節，曆之始也，而其書不傳。黃帝、虞、夏、殷、周、魯七曆，先儒謂系偽作。今七曆俱存，大指與漢曆相似，而章蔀氣朔，未睹其真，為漢人所託無疑。太初、三統，法雖疏遠，而創始之功，不可泯也。劉洪、姜岌，次第闡明，何、祖專力表、圭，益稱精切。自此南、北曆象，率能好學深思，多所推論，皆非淺近所及。唐曆大衍稍密，然開元甲子當食不食，一行乃為諛詞以自解，何如因差以求合乎？」

又曰：「明初元統造大統曆，因郭守敬遺法，增損不及百一，豈以守敬之術果能度越前人乎？守敬治曆，首重測日，余嘗取其表景，反覆布算，前後牴牾。餘所創改，多非密率。在當日已有失食失推​​之咎，況乎遺籍散亡，法意無徵。兼之年遠數盈，違天漸遠，安可因循不變耶？元氏藝不逮郭，在廷諸臣，又不逮元，卒使昭代大典，踵陋襲偽。雖有李德芳苦爭之，然德芳不能推理，而株守陳言，無以相勝，誠可嘆也！」

又曰：「萬曆季年，西人利氏來華，頗工曆算。崇禎初，命禮臣徐光啟譯其書，有曆指為法原，曆表為法數，書百餘卷，數年而成，遂盛行於世。言曆者莫不奉為俎豆。吾謂西曆善矣，然以為測候精詳可也，以為深知法意未可也。循其理而求通，可也；安其誤而不辨，不可也。姑舉其概：二分者，春、秋平氣之​​中；二至者，日道南、北之中也。大統以平氣授人時，以盈縮定日躔。西人既用定氣，則分、正為一，因譏中歷節氣差至二日。夫中曆歲差數強，盈縮過多，惡得無差？然二日之異，乃分、正殊科，非不知日行之朓朒而致誤也。歷指直以怫己而譏之，不知法意一也。諸家造曆，必有積年日法，多寡任意，牽合由人。守敬去積年而起自辛巳，屏日法而斷以萬分，識誠卓也。西曆命日之時以二十四，命時之分以六十，通計一日為分一千四百四十，是復用日法矣。至於刻法，彼所無也。近始每時四分之，為一日之刻九十六。彼先求度而後日，尚未覺其繁，施之中曆則窒矣。乃執西法反謂中曆百刻不適於用，何也？且日食時差法之九十有六，與日刻之九十六何與乎？而援以為據，不知法意二也。天體渾淪，初無度分可指，昔人因一日日躔命為一度，日有疾徐，斷以平行，數本順天，不可損益。西人去週天五度有奇，斂為三百六十，不過取便割圜，豈真天道固然？而黨同伐異，必曰日度為非，詎知三百六十尚非天真有此度數乎？不知法意三也。上古置閏，忄互於歲終，蓋歷術疏闊，計歲以置閏也。中古法日趨密，始計月以置閏，而閏於積終，故舉中氣以定月，而月無中氣者即為閏。大統專用平氣，置閏必得其月，新法改用定氣，致一月有兩中氣之時，一歲有兩可閏之月，若辛丑西曆者，不亦盭乎！夫月無平中氣者，乃為積餘之終，無定中氣者，非其月也。不能虛衷深考，而以鹵莽之習，侈支離之學，是以歸餘之後，氣尚在晦；季冬中氣，已入仲冬；首春中氣，將歸臘杪。不得已而退朔一日以塞人望，亦見其技之窮矣，不知法意四也。天正日躔，本起子半，後因歲差，自丑及寅。若夫合神之說，乃星命家猥言，明理者所不道。西人自命歷宗，何至反為所惑，謂天正日躔定起丑初乎？況十二次命名，悉依星象，如隨節氣遞遷，雖子午不妨異地，豈玄枵、鳥咮亦無定位耶？不知法意五也。歲實消長，昉於統天，郭氏用之，而未知所以當用；元氏去之，而未知所以當去。西人知以日行最高求之。而未知以二道遠近求之，得其一而遺其一。當辨者一也。歲差不齊，必緣天運緩疾，今欲歸之偶差，豈前此諸家皆妄作乎？黃、白異距，生交行之進退；黃、赤異距，生歲差之屈伸；其理一也。曆指已明於月，何蔽於日？當辨者二也。日躔盈縮最高，斡運古今不同，揆之臆見，必有定數。不惟日月星應同，但行遲差微，非畢生歲月所可測度耳。西人每詡數千年傳人不乏，何以亦無定論？當辨者三也。日月去人時分遠近，兒徑因分大小，則遠近大小，宜為相似之比例。西法日則遠近差多，而兒徑差少；月則遠近差少，而兒徑差多。因數求理，難會其通。當辨者四也。日食變差，機在交分，日軌交分，與月高交分不同；月高交於本道，與交於黃道者又不同。曆指不詳其理，歷表不著其數，豈黃道一術足窮日食之變乎？當辨者五也。中限左右，日月兒差，時或一東一西。交、廣以南，日月兒差，時或一南一北。此為兒差異向與兒差同向者加減迥別，歷指豈以非所常遇，故置不講耶？萬一遇之，則學者何以立算？當辨者六也。日光射物，必有虛景，虛景者，光徑與實徑之所生也。闇虛恆縮，理不出此。西人不知日有光徑，僅以實徑求闇虛。及至推步不符，复酌損徑分以希偶合。當辨者七也。月食定望，惟食甚為然，虧复四限，距望有差。日食稍離中限，即食甚已非定朔。至於虧复，相去尤遠。西曆乃言交食必在朔、望，不用朓朒次差。當辨者八也。」

又曰：「語云：'步歷甚難，辨歷甚易。'蓋言象緯森羅，得失無所遁也。據彼所說，亦未嘗自信無差。五星經度，或失二十餘分，躔離表驗，或失數分，交食值此，所失當以刻計；凌犯值此，所失當以日計矣。故立法不久，違錯頗多，餘於歷說已辨一二。乃癸卯七月望食當既不既，與夫失食失推者何異乎？且譯書之初，本言取西曆之材質，歸大統之型範，不謂盡隳成憲，而專用西法，如今日者也。餘故兼採中、西，去其疵類，參以己意，著曆法六篇，會通若干事，改正若干事，表明若干事，增輯若干事，立法若干事。舊法雖舛，而未遽廢者，兩存之；理雖可知，而上下千年不得其數者，缺之；雖得其數，而遠引古測，未經目信者，別見補遺，而正文仍襲其故。為日一百幾十有幾，為文萬有千言，非敢妄雲窺其堂奧，庶幾初學之津梁也。」

其法：度法百分，日法百刻，週天三百六十五度二十五分六十五秒五十九微三十二纖，內外準分三十九分九十一秒四十九微，次準九十一分六十八秒八十六微，黃道歲差一分四十三秒七十三微二十六纖。列宿經緯：角一十度七十三分七十九秒，南二度一分二十三秒，亢一十度八十二分二十四秒，北三度一分一秒，氐一十八度一十六分一十四秒，北四十三分九十六秒，房四度八十三分六十三秒，南五度四十六分一十九秒，心七度六十六分二秒，南三度九十​​七分三十八秒，尾一十五度八十二分七十八秒，南一十五度二十一分九十秒，箕九度四十六分九十六秒，南六度五十九分四十九秒，南斗二十四度一十九分八十二秒，南三度八十八分九十三秒，牽牛七度七十九分五十五秒，北四度七十五分一十七秒，婺女一十一度八十二分二秒，北八度二十分五十九秒，虛一十度一十二分九十一秒，北八度八十二分七十秒，危二十度四十一分四秒，北一十度八十五分六十二秒，營室一十五度九十二分二十秒，北一十度七十一分七十一秒。

先是曉菴新法未成，作歷說六篇，歷策一篇，其說精核，與新法互有詳略。又隱括中、西步術，作大統西曆啟蒙。丁未歲，因推步大統法作丁未歷稿。辛酉八月朔日食，以中、西法及己法豫定時刻分秒，至期，與徐發等以五家法同測，己法獨合，作推步交朔測小記。又以治歷首重割圜，作圜解。測天當據儀晷，造三晷，兼測日、月、星，因作三辰晷志。俱能究術數之微奧，補西人所不逮。與同時青州薛鳳祚齊名，稱「南王北薛」雲。歷策有云：「每遇交會，必以所步、所測課較疏密，疾病寒暑無間，變週、改應、增損、經緯、遲疾諸率，於茲三十年所。」亦可以想見作者實測之詣力矣。

潘檉樟

潘檉樟，字力田。與王錫闡同邑友善。錫闡嘗館其家，講論算法，常窮日夜。檉樟著辛丑歷辨曰：「昔堯命羲和，曰以閏月定四時成歲，蓋曆法首重置閏。而春秋傳曰：'先王之正時也，履端於始，舉正於中，歸餘於終。'所謂始者，取氣朔分齊為曆元也；所謂中者，月以中氣為定，無中氣者則為閏也；所謂終者，積氣盈、朔虛之數而閏生焉也。自漢以降，歷術雖屢變，未有能易此者。唯西域諸歷則不然，其法有閏年、有閏日，而無閏月。蓋中歷主日，而西曆主度，不可強同也。今之為西曆者，乃以日躔求定氣、求閏月，不惟盡廢中國之成憲，而亦自悖西域之本法矣。故十餘年來，宮度既紊，氣序亦訛。如戊子之閏三月也，而置在四月；庚寅之閏十一月也，而置在明年之二月；癸巳之閏七月也，而置在六月；己亥之閏正月也，而置在三月。其為舛誤，何可勝言！然非深於歷者，未易指摘。至於辛丑之閏月，則其失顯然無以自解矣。何也？閏法論平氣而不當論定氣，若以平氣，則是年小雪在十月晦，冬至在十一月朔，而閏在兩月之間。所謂閏前之月中氣在晦，閏後之月中氣在朔者也。今以定氣，則秋分居九月朔，故預於七月朔置閏，然後秋分仍在八月，而霜降、小雪各歸其月。無如大寒定氣乃在十一月朔，而十二月又無中氣，既不可再置一閏，則是同一無中氣之月，而或閏或否。彼所云太陽不及交宮即置為閏者，何獨於此而自背其法乎？蓋孟秋非歸餘之終，故天正不能履端於始，地正不能舉正於中也。如此，則四時不定，歲功不成，而閏法又安用之？且壬寅正月，定朔舊法在丙子丑初，即彼法亦在丙子子正，則辛丑之季冬當為大盡，而明年正月中氣复移於今歲之秒。彼亦自覺其未安，故進歲朔於乙亥，而季冬為小盡之月，皆所謂欲蓋彌彰者耳。即辛丑歲朔，以彼法推，當會於亥正，而今在戌正，差至六刻，其他牴牾，更難枚舉。噫！作法如是，而猶自以為盡善，可乎​​？蓋其說以日行盈縮為節氣短長，每遇日行最盈，則一月可置一氣，是古有氣盈、朔虛，而今更有氣虛、朔盈矣。然或晦朔兩節而中氣介其間。如丙戌仲冬，去閏稍遠，猶可不論；獨辛丑仲冬，冬至、大寒俱在晦朔，去閏最近，進退無據。苟且遷就，有不勝其弊者。夫閏法之主平氣，行之已數千年矣，今一變其術，未久而輒窮，至於無可如何，則又安取紛更為也！」檉樟後坐法死。弟耒，亦學曆算，見文苑傳。

方中通

方中通，字位伯，桐城人。集諸家之說，著數度衍二十四卷，附錄一卷。言：「九章皆出於句股，環矩以為圓，合矩以為方，方數為典。以方出圓，句股之所生也；少廣，方圓所出也。方田、商功，皆少廣所出。一方一圓，其間不齊，始出差分，而均輸對差分之數，盈朒借差求均。又差分、均輸所出，而以方程濟其窮。度量衡原出黃鍾，粟佈出焉，黃鍾出於方圓者也。」又言：「古法用竹徑一寸長六分二百七十一而成六觚為一握，後世有珠算而古法亡矣。泰西之筆算、籌算，皆出九九。尺算即比例規，出三角。乘莫善於籌，除莫善於筆，加減莫善於珠，比例莫善於尺。」其珠算歸法，三一三十一，四一二十二之類，「十」字俱作「餘」字。其尺算以三尺交加，取數祗用平分一線。時廣昌揭暄亦明算術，與中通論難日輪大小，得光肥影瘦之故，及古今歲差之不同，須測算消長以齊之。一晝夜人一萬三千五百息，每息宗動天行十萬里有奇。別錄為一書，曰揭方問答。

揭暄

揭暄，字子宣，廣昌人。著璇璣遺述七卷，一名寫天新語。論日月東行如槽之滾丸，而月質不變。又謂七政之小輪。皆出自然，如盤水之運旋而周遭，以行疾而成旋渦，遂成留逆。於五星西行，日月盈縮，皆設譬多方，言之近理。康熙己巳，以草稿寄梅文鼎，抄其精語為一卷，稱其「深明西術，而又別有悟入，其言多古今所未發」。卒年逾八十。

梅文鼎

梅文鼎，字定九，號勿庵，宣城人。兒時侍父士昌及塾師羅王賓仰觀星象，輒了然於次舍運轉大意。年二十七，師事竹冠道士倪觀湖，受麻孟旋所藏台官交食法，與弟文鼐、文鼏共習之。稍稍發明其立法之故，補其遺缺，著歷學駢枝二卷，後增為四卷，倪為首肯。

值書之難讀者，必欲求得其說，往往廢寢忘食。殘編散帖，手自抄集，一字異同，不敢忽過。疇人子弟及西域官生，皆折節造訪，有問者，亦詳告之無隱，期與斯世共明之。所著曆算之書凡八十餘種。

讀元史授時曆經，歎其法之善，作元史歷經補註二卷。又以授時集古法大成，因參校古術七十餘家，著古今曆法通考七十餘卷。授時以六術考古今冬至，取魯獻公冬至證統天術之疏，然依其本法步算，與授時所得正同，作春秋以來冬至考一卷。元史西征庚午元術，西征者，謂太祖庚辰；庚午元者，上元起算之端也。曆志訛太祖庚辰為太宗，不知太宗無庚辰也。又訛上元為庚子，則於積年不合。考而正之，作庚午元算考一卷。授時非諸古術所能方，郭守敬所著歷草，乃歷經立法之根，拈其義之精微者，為郭太史歷草補註二卷。立成傳寫魯魚，不得其說，不敢妄用，作大統立成註二卷。授時術於日躔盈縮、月離遲疾，並以垛積招差立算，而九章諸書無此術，從未有能言其故者，作平立定三差詳說一卷，此發明古法者也。唐九執術為西法之權輿，其後有婆羅門十一曜經及都聿利斯經，皆九執之屬。在元則有札馬魯丁西域萬年術，在明則馬沙亦黑、馬哈麻之回回術、西域天文書，天順時具琳所刻天文實用，即本此書，作回回曆補註三卷，西域天文書補註二卷，三十雜星考一卷。表景生於日軌​​之高下，日軌又因裡差變移，作四省表景立成一卷。周髀所言裡差之法，即西人之說所自出，作周髀算經補讠主一卷。渾蓋之器，最便行測，作渾蓋通測憲圖說訂補一卷。西國以太陽行黃道三十度為一月，作西國日月考一卷。西術中有細草，猶授時之有通軌也，以歷指大意隱括而注之，作七政細草補註三卷。新法有交食蒙求、七政蒙引二書，並逸，作交食蒙求訂補二卷、附說二卷。監正楊光先不得已日食圖，以金環食與食甚分為二圖，而各有時刻，其誤非小，作交食作圖法訂誤一卷。新法以黃道求赤道交食，細草用儀象志表，不如弧三角之親切，作求赤道宿度法一卷。謂中、西兩家之法，求交食起復方位，皆以東西南北為言。然東西南北惟日月行至午規而又近天頂，則四方各正其位。非然，則黃道有斜正之殊，而自虧至复，經歷時刻，輾轉遷移，弧度之勢，頃刻易向。且北極有高下，而隨處所見必皆不同，勢難施諸測驗。今別立新法，不用東西南北之號，惟人所見日月員體，分為八向，以正對天頂處為上，對地平處為下，上下聯爲直線，作十字橫線，命之曰左、曰右，此四正向也；曰上左、上右，曰下左、下右，則四隅向也。乃以定其受蝕之所在，則舉目可見，作交食管見一卷。太陽之有日差，猶月離交食之有加減時，因表說含糊有誤，作日差原理一卷。火星最為難算，至地谷而始密，解其立法之根，作火緯圖法一卷。訂火緯表記，因及七政，作七政前均簡法一卷。天問略取緯不真，而列表從之誤，作黃赤距緯圖辨一卷。新法帝星、句陳經緯刊本互異，作帝星句陳經緯考異一卷。測帝星、句陳二星為定夜時之簡法，作星軌真度一卷。以上皆以發明新法算書，或正其誤，或補其缺也。

康熙己未，明史開局，曆志為錢塘吳任臣分修，經嘉禾徐善、北平劉獻廷、毗陵楊文言，各有增定，最後以屬黃宗羲，又以屬文鼎，摘其訛誤五十餘處，以算草、通軌補之，作明史曆志擬稿一卷。雖為大統而作，實以闡明授時之奧，補元史之缺略也。其總目凡三：曰法原，曰立成，曰推​​步。而法原之目七：曰句股測望，曰弧天割圜，曰黃赤道差，曰黃赤道內外度，曰白道交週，曰日月五星平立定三差，曰裡差刻漏。立成之目凡四：曰太陽盈縮，曰太陰遲疾，曰晝夜刻，曰五星盈縮。推步之目凡六：曰氣朔，曰日躔，曰月離，曰中星，曰交食，曰五星。

又作曆志贅言一卷，大意言：「明用大統，實即授時，宜詳元史缺載之事，以補其未備。又回回曆承用三百年，法宜備書。又鄭世子歷學已經進呈，宜詳述。他如袁黃之曆法新書，唐順之、周學述之會通回曆，以庚午元曆之例例之，皆得附錄。其西洋歷方今現行，然崇禎朝徐、李諸公測驗改憲之功，不可沒也，亦宜備載緣起。」

己巳，至京師，謁李光地於邸第，謂曰；「曆法至本朝大備矣，而經生家猶若望洋者，無快論以發其趣也。宜略仿元趙友欽革象新書體例，作簡要之書，俾人人得其門戶，則從事者多，此學庶將大顯。」因作歷學疑問三卷。

光地扈駕南巡，駐蹕德州，有旨取所刻書籍回奏，光地匆遽未及攜帶，遂以所辢刻歷學疑問謹呈。奉旨：「朕留心曆算多年，此事朕能決其是非，將書留覽再發。」二日後，召見光地，上云：「昨所呈書甚細心，且議論亦公平，此人用力深矣，朕帶回宮中仔細看閱。」光地因求皇上親加御筆，批駁改定，上肯之。

明年癸未春，駕复南巡，於行在發回原書，面諭光地：「朕已細細看過。」中間圈點塗抹及簽貼批語，皆上手筆也。光地復請此書疵繆所在，上云：「無疵繆，但算法未備。」蓋其書本未完成，故聖諭及之。

未幾，聖祖西巡，問隱淪之士，光地以關中李顒、河南張沐及文鼎三人對。上亦夙知顒及文鼎，乙酉二月，南巡狩，光地以撫臣扈從，上問：「宣城處士梅文鼎焉在？」光地以「尚在臣署」對。上曰：「朕歸時，汝與偕來，朕將面見。」四月十九日，光地與文鼎伏迎河干，越晨，俱召對御舟中，從容垂問，至於移時，如是者三日。上謂光地曰：「歷象算法，朕最留心，此學今鮮知者，如文鼎，真僅見也。其人亦雅士，惜乎老矣！」連日賜御書扇幅，頒賜珍饌。臨辭，特賜「績學參微」四大字。越明年，又命其孫瑴成內廷學習。

五十三年，瑴成奉上諭：「汝祖留心律曆多年，可將律呂正義寄一部去，令看，或有錯處，指出甚好。夫古帝王有'都俞籲咈'四字，後來遂止有'都俞'，即朋友之間，亦不喜人規勸，此皆是私意。汝等須竭力克去，則學問長進。可並將此意寫與汝祖知之。」恩寵為古所未有。

文鼎圖注各直省及蒙古各地南北東西之差，為書一卷，名分天度裡。地既渾員，則所云二百五十里一度，緯度則然，若經度離赤道遠，則里數漸狹。故惟路正東西行，自有一定算法；路或斜行，則其法不可用為立法。若兩地各有北極高度，又有相距之經度，而無相距里數，是有兩邊一角，而求餘一邊，即可以知斜距之裡。若先有斜距之里數而求經度，是為三邊求角，亦可以知相距之經度。其法並用斜弧三角形立算，可與月食求經度之法相參，而且簡易的確。

文鼎於測算之圖與器，一見即得要領，古六合、三辰、四遊之儀，以意約為小制，皆合。又自制為月道儀，揆日測高諸器，皆自出新意。嘗登觀像台，流覽新制六儀，及元郭守敬簡儀、明初渾球，指數其中利病，皆如素習。其書有測器考二卷，又自鳴鐘說一卷，壺漏考一卷，日晷備考一卷，赤道提晷一卷，勿菴揆日器一卷，加時日軌高度表一卷，揆日測說一卷，璇璣尺解一卷，測量定時簡法一卷，勿庵測望儀式一卷，勿庵仰觀儀式一卷，月道儀式一卷。

其說曰：「月道出入於黃道，猶黃道之出入於赤道也。自古及今，未有為之儀器者。今依渾蓋北密南疏之度，以黃極為樞，而月道半在其內，半出其外，則月緯大小之理，及正交、中交、交前、交後之法，可以眾著。儀以銅為之，略如渾蓋，其上盤為月道，亦如渾蓋天盤之黃道圈；其下盤黃道經緯，分宮分度，並以黃極為心，而侭邊以黃緯九十五度少半為限。出黃道南五度少半，月道所到也。」

禮部郎中李煥鬥嘗從文鼎問曆法，作答李祠部問歷一卷。滄州老儒劉介錫同客天津，問曆法，作答劉文學問天象一卷。又言生平於難讀之書，每手疏而攜諸篋，以待明者問之，於歷學尤多，作思問編一卷。緯度以測日高，因知北極為用甚博，古用二至二分，今則逐日可測，承友人之問，作七十二候太陽緯度一卷。潘天成從文鼎學歷，而苦於布算，作寫歷步曆法一卷授之。又授時步交食式一卷，文鼎季弟文鼏之稿也。步五星式六卷，文鼎與其仲弟文鼐共成之者也。

文鼎每得一書，皆為正其訛闕，指其得失，又古歷列星距度考一卷，從殘壞之本，尋其普天星宿，入宿去極度分，中缺二星，又從閩中林侗寫本補完之，而斷以為授時之法。萬曆中利瑪竇入中國，始倡幾何之學，以點線面體為測量之資，制器作圖，頗為精密。學者張皇過甚，未暇深考，輒薄古法為不足觀；而株守舊法者，又斥西人為異學：兩家之說，遂成隔礙。文鼎集其書而為之說，用籌、用尺、用筆，稍稍變從我法。若三角、比例等，原非中法可賅，特為表出。古法方程，亦非西法所有，則專著論，以明古人之精意不可湮沒。又為九數存古，以著其概。總為中西算學通例一卷。

餘分九種：一，勿庵籌算七卷。二，筆算五卷。皆易橫為直，以便中文。三，度算一卷，原無算例，其弟文鼏補之，而參以嘉禾陳藎謨尺算用法。又有矩算，用一尺一方板，則文鼎所創。四，比例數解四卷。釋穆尼閣所譯之對數。五，三角法舉要五卷。其目有五：曰測量名義，曰算例，曰內容外切，曰或問，曰測量。六，方程論六卷，安溪李鼎徵為刻於泉州。七，幾何摘要三卷，就原本刪繁補遺。八，句股測量二卷，就周髀、海島諸術，錄要以存古意。九，九九數存古十卷，九數即九章隸首之法，僅存者九章之目耳。後有作者，莫能出其範圍。

外有書一十七種為續編：一，少廣拾遺一卷。古有一乘方至九乘方相生之圖，而莫詳所用。後或增之至十乘，惟四乘方與十乘方不可藉用他法，因為推演至十二乘方，有條不紊。二，方田通法一卷，算家有捷田二十三法，廣之為百二十有四。三，幾何補編四卷。幾何原本六卷，止於測面，七卷以後，未經譯出，取測量全義量體諸率，實考其作法根源，以補原書之未備。而原書二十等面體之說，向固疑其有誤者，今乃得其實數。又原本理分中末線，但有求作之法，而莫知所用。今依法求得十二等面及二十等面之體積，因得其各體中棱線及輳心對角諸線之比例。又兩體互相容及兩體與立方、立員諸體相容各比例，並以理分中末線為法，乃知此線不為徒設。四，西鏡錄訂註一卷。五，權度通幾一卷。重學為西術一種，載於比例規解者多譌誤，今以南勳卿儀象志互相訂補，其數始真。六，奇器補註二卷。關中王公徵奇器圖說所述引重轉木諸制，並有裨於民生日用，而又本於西人重學，以明其意。嘗以書史所傳，如漢杜詩作水《廠義》以便民，及王氏農書諸水器之類，睹記所及，如劉繼莊詩集載筒車灌田法，稍為輯錄，以補其所遺，而圖與說不相應者正之，以西字為識者易之。七，正弦簡法補一卷。大測諸書，言作八線表之法詳矣，薛鳳祚書有用矢線求度法，為之作圖，以明其意。因得兩法，在六宗、三要之外，而為用加捷。兩法者，一曰正弦方冪倍而退位得倍弧之矢，一曰正矢進位折半得半弧正弦上方冪。八，弧三角舉要五卷。曆書皆三角法也，內分二支：一曰平三角，一曰弧三角。凡曆法所測，皆弧度也，弧線與直線不能為比例，則剖析渾員之體，而各於弧線中得其相當直線。即於無句股中尋出句股，此法之最奇而確者。弧三角之用法雖多，而其最著明者，為黃赤交變一圖。反覆推論，瞭如列眉，熟此一端，則其餘不難推及矣。測量全義第七、第八、第九卷專明此理，而舉例不全，且多錯謬。其散見諸歷指者，僅存用數，無從得其端倪。天學會通圈線三角法，作圖草率，往往不與法相應。一以正弧三角為綱，仍用渾儀解之。正弧三角之理，盡歸句股。參伍其變，斜弧三角之理，亦歸句股矣。其目：曰弧三角體式，曰正弧句股，曰求餘角法，曰弧角比例，曰垂線，曰次形，曰垂弧捷法，曰八線相當。九，環中黍尺五卷。舉要中弧度之法已詳，然更有簡妙之用宜知。測量全義原有斜弧兩矢較之例，所立圖姑為斜望之形，而無實度可言。今一以平儀正形為主，凡可以算得者，即可以器量。渾儀真像，呈諸片楮，而經緯歷然，無絲毫隱伏假借。至於加減代乘除之用，曆書舉其名不詳其說，疑之數十年，而後得其條貫，即初數次數甲數乙數諸法。其目：曰總論，曰先數後數，曰平儀論，曰三極通幾，曰初數次數，曰加減法，曰甲數乙數，曰加減捷法，曰加減又法，曰加減通法。十，巉堵測量二卷。古法斜剖立方，成兩巉堵形，巉堵又剖為二，成立三角，立三角為量體所必需，然此義皆未發。今以渾儀黃赤道之割切二線成立三角形，立三角本實形，今諸線相遇成虛形，與實形等，而四面皆句股，西法通於古法矣。又於餘弧取赤道及大距弧之割切線，成句股方錐形，亦四面皆句股，即弧度可相求，亦不言角，古法通於西法矣。二者並可以堅楮為儀象之，則八線相為比例之理，瞭如掌紋。而郭守敬員容方直矢接句股之法，不煩言說而解。其目：曰總論，曰立三角摘要，曰渾員內容立三角，曰句股錐，曰句股方錐，曰方巉堵容員巉堵，曰員容方直儀簡法，曰郭太史本法，曰角即弧解。十一，用句股解幾何原本之根一卷。幾何不言句股，而其理莫能外。故其最難通者，以句股釋之則明。惟理分中末線似與句股異源，今為遊心於立法之初，仍不外乎句股，益信古句股義包舉無遺。徐光啟譯大測表，名之曰割圜句股八線表，其知之矣。十二，幾何增解數則。其目有四：曰以方斜較求斜方，曰切線角與員內角交互相應，曰量無法四邊形捷法，曰取平行線簡法。並就幾何各題而增，不入補編，附前條共卷。十三，仰觀覆矩二卷。一查地平經度為日出入方位，一查赤道經度為日出入時刻，並依裡差，用弧三角立算，與曆書法微別。十四，方員冪積二卷。曆書周徑率至二十位，然其入算，仍用古率十一與十四之比例，豈非以乘除之際難用多位歟？今以表列之，取數殊易，乃為之約法，則徑與週之比例即方、員二冪之比例，亦即為立方、立員之比例，殊為簡易直捷。十五，麗澤珠璣一卷。友朋之益，取其有關算學者。十六，算器考一卷。十七，數學星槎一卷。

文鼎歷學疑問，曾呈御覽，後又引申其說，作歷學疑問補二卷，皆平正通達，可為步算家準則。

文鼎為學甚勤，劉輝祖同舍館，告桐城方苞曰：「吾每寐覺，漏鼓四五下，梅君猶構燈夜誦，乃今知吾之玩日而愒時也。」居京師時，裕親王以禮延致朱邸，稱梅先生而不名。李文貞公命子鍾倫從學，介弟鼎徵及群從皆執弟子之禮。宿遷徐用錫，晉江陳萬策，景州魏廷珍，河間王之銳，交河王蘭生，皆以得與參校為榮。家多藏書，頻年遊歷，手抄雜帙不下數万卷。歲在辛丑，卒，年八十有九。上聞，特命有地治者經紀其喪，士論榮之。

梅以燕

子以燕，字正謀。康熙癸酉舉人。於算學頗有悟入，有法與加減同理，而取徑特殊，能於恆星曆指中摘出致問，文鼎所謂「能助餘之思」也。早卒。

梅瑴成

瑴成，字玉汝，以燕子。文鼎疑日差既有二根，即宜列二表，瑴成以為：「定朔時既有高卑盈縮之加減矣，復用於此，豈非複乎？」文鼎因其說，然後悟交食之非缺，比之童烏九歲能與太玄。康熙乙未進士，改編修，與修國史。 瑴成肄業蒙養齋，以故數學日進。御製數理精蘊、歷象考成諸書，皆與分纂。所著增刪算法統宗十一卷，赤水遺珍一卷，操縵卮言一卷。

明代算家，不解立天元術，瑴成謂立天元一即西法之借根方，其說曰；「嘗讀授時曆草求弦矢之法，先立天元一為矢，而元學士李冶所著測圜海鏡，亦用天元一立算。傳寫魯魚，算式訛舛，殊不易讀。明唐荊川、顧箬溪兩公互相推重，自謂得此中三昧。荊川之說曰：'藝士著書，往往以秘其機為奇，所謂天元一云爾，如積求之云爾，漫不省其為何語。'而箬溪則言：'細考測圜海鏡，如求城徑，即以二百四十為天元，半徑即以一百二十為天元，即知其數，何用算為？似不必立可也。'二公之言如此，餘於顧說頗不謂然，而無以解也。後供奉內廷，蒙聖祖仁皇帝授以藉根之法，且諭曰：'西人名此書為阿爾熱八達，譯言東來法也。'敬受而讀之，其法神妙，誠算法之指南，而竊疑天元一之術頗與相似。復取授時曆草觀之，乃煥然冰釋，殆名異而實同，非徒似之而已。夫元時學士著書，台官治歷，莫非此物。乃歷久失傳，猶幸遠人慕化，復得故物。東來之名，彼尚不忘所自，而明人視若贅疣而欲棄之。噫！好學深思如唐、顧二公，尚不能知其意，而淺見寡聞者，又何足道哉？」

明史館開，瑴成與修天文、曆志，呈總裁書曰：「一曆志半系先祖之藁，但屢經改竄，非復原本，其中訛舛甚多。凡有增刪改正之處，皆逐條簽出。一，天文志不宜入曆志，擬仍另編。蓋歷以欽若授時，置閏成歲，其術委曲繁重，其理精微，為說深長。且有明二百七十餘年沿革非一事，造歷者非一家，皆須入志。雖盡力刪削，卷帙猶繁。若加入天文誌之說，則恐冗雜不合史法。自司馬氏分歷與天官為二書，歷代因之，似不可易。一，天文志例載天體、星座、次舍、儀器、分野等事，遼史謂天象千古不變，歷代之志天文者近於衍，其說似是而非。蓋天象雖無古今之異，而古今之言天者，則有疏密之殊。況恆星去極，交宮中星，晨昏隱現，歲歲有差，安得謂千古不易？今擬取天文家精妙之說著於篇；其不足信者，擬削之。」

又時憲志用圖論曰：「客問於梅子曰；'史以紀事，因而不創。聞子之志時憲也用圖，此固廿一史所無，而子創為之，宜執事以為非體而欲去之也。而子固執己見，复呶呶上言，獨不記昌黎之自訟乎？吾竊為子危之！'梅子曰：'吾聞史之道貴信而直，餘本不原為史官，總裁謂時憲、天文兩志非專家不能辦，不以為固陋而委任之。余既不獲辭，不得不盡其職。今客謂舊史無圖而疑餘之創，竊謂史之記事，亦視其信否耳，因、創非所計也。夫後史之增於前者多矣，漢書十志，已不侔於八書，而後漢皇后本紀，與魏書之志釋老，唐書之傳公主，宋史之傳道學，皆前史所無，又何疑於國史用圖之為創哉？且客未讀明史耶？明史於割員弧矢、月道距差諸圖，備載曆志，何明史不疑為創，而顧疑餘乎？'客曰：'後史增於前者，必非無因，若明史之用圖，亦有說歟？'梅子曰：'疑以傳疑，信以傳信，春秋法也，作史者誰能易之？古之治歷者數十家，大率不過增損日法，益天週，減歲餘，以求合一時而已。即太初之起數鍾律，大衍之造端蓍策，亦皆牽合，並未能深探天行之故，而發明其所以然之理。本未嘗有圖，史臣何從取而載之？至元郭太史修授時，不用積年日法，全憑實測，用句股割員以求弦矢，於是有割圜諸圖載於歷草。作元史時，不知採摭，則宋、王諸公之疏也。明之大統，實即授時。本朝纂修明史諸公，以義非圖不明，遂採歷草入志，其識極超。復經聖君賢相鑑定，不以為非體而去之，俾精義傳於無窮，​​洵足開萬古作史者之心胸矣。至於時憲立法之妙，義蘊之奧，悉具於圖，更不可去。如必以去圖為合體，豈以明史為非體，

而本朝之制不足法歟？且客亦知時憲之圖所自來乎？我聖祖仁皇帝憫絕學之失傳，留心探索四十餘年，見透底蘊，始親授儒臣，作圖立說，以闡明千古不傳之秘，即御製歷象考成是也。餘親承聖訓，實與彙編之列。彼前輩纂修明史，尚不忍沒古人之善，創例以傳之。而餘以承學之臣，恭紀御製，顧恐失執事之意，而遷就迎合，以致聖學不彰，貽誤後學，尚得謂之信史乎？不信之史，人可塞責，而何用餘越俎而代之？餘之呶呶，非沽直，不得已也。然則韓子之自訟，亦謂其言之可以已者耳。使韓子果務為容悅以求倖免，則諍臣之論，佛骨之表，又何為若是其侃侃哉？ 』客唯唯而退。 」

又儀象論曰：「齊政授時，儀象與算術並重。蓋非算術，無以預推節候以前民用；非儀象，無以測現在之行度，以驗推步之疏密，而為修改之端也。虞書'璇璣玉衡'，為儀象之權輿，其制不傳。漢人創造渾天儀，即璣衡遺制，唐、宋皆仿為之。至元始有簡儀、仰儀、闚幾、景符等器，視古加詳矣。明於齊化門南倚城築觀像台，仿元制作渾儀、簡儀、天體三儀，置於台上，台下有晷影堂，圭表壺漏，國初因之。康熙八年，命造新儀，十一年，告成，安置台上，其舊儀移藏他室。五十四年，西人紀理安欲炫其能而滅棄古法，復奏制象限儀，遂將所遺舊器用作廢銅，僅存明仿元渾儀、簡儀、天體三儀而已。所製象限儀成，亦置台上。按明史云：'嘉靖間修相風桿及簡、渾二儀，立四大表以測晷影，而立運儀、正方案、懸晷、偏晷，具備於觀像台，一以元法為斷。'餘於康熙五十二三年間，充蒙養齋彙編官，屢赴觀像台測驗。見台下所遺舊器甚多，而元制簡儀、仰儀諸器，俱有王珣、郭守敬監造姓名。雖不無殘缺，然睹其遺制，想見創造苦心，不覺肅然起敬​​也。乾隆年間，監臣受西人之愚，屢欲廢台下餘器作銅送製造局，賴廷臣奏請存留，禮部奉旨查檢，始知僅存三儀，殆紀理安之燼餘也。夫西人欲藉技術以行其教，故將盡滅古法，使後世無所考，彼益得以居奇，其心叵測。乃監臣無識，不思存什一於千百，而反助其為虐，何哉？乾隆九年冬，有旨移置三儀於紫微殿前，古人法物，庶幾可以永存矣。」

又論句股曰：「句股和較相求​​，言算學者莫不留心，其法可謂詳且備矣，未有以句股積與句弦和較為問者。元學士李冶著測圜海鏡，用餘句、餘股立算，神明變化，幾如五花八門，亦未及此。豈俱未計及耶？抑有其法而遺之耶？統宗少廣章內，雖有句股積及句弦較兩題，乃偶合於句三股四之數，非通法。昔待罪蒙養齋，彙編數理精蘊，意欲立法以補其缺。先用平方輾轉推求，皆不能御，思之累日，而後得用帶縱立方求句股二法。」

卒，年八十有三，諡文穆。

鈁，字導和，瑴成第四子也。 瑴成纂叢書輯要六十餘卷，圖皆所繪。刪訂統宗圖，十之七八，皆出其手。年二十六，卒。

梅文鼐

文鼐，字和仲，文鼎從弟也。初學歷時，未有五星通軌，無從入算。與兄文鼎取元史歷經，以三差法佈為五星盈縮立成，然後算之，共成步五星式六卷。早卒。

梅文鼏

文鼏，字爾素，文鼎季弟也。著中西經星同異考一卷。以三垣二十八宿星名，依步天歌次第，臚列其目，而以中、西有無多寡分注其下，載古歌、西歌於後。古歌即步天歌，西歌則利瑪竇所撰經天該也。其南極諸星，則據湯若望算書及南懷仁儀象志，為考證補歌，附之於末。其發凡略言：「齊七政，非先定恆星，則無從著手。故曰『七政如乘傳，恆星其地志也；七政如行棋，恆星其楸局也。』曰『恆』者，謂其終古不易；曰『經』者，謂其不同緯星南北行，『經』亦有『恆』之義焉。是編專以中、西兩家所傳之星歌星名考其多寡同異，故曰經星同異考。星官之書，自黃帝始，重黎、羲和，志天文者，紛糅不一。漢張衡云：『中外之官常明者百有二十四，可名者三百二十，為星二千五百，微星之數蓋萬一千五百二十。』至三國時，太史令陳卓始列甘、石、巫咸三家所著星，總二百八十三官，一千四百八十四星。自唐以來，以儀考測，迨宋兩朝志，始能言某星去極若干度，入某星若干度，為說較詳。此中國之言星學者。西儒星學遠有端緒，據其書所譯，周赧王丙寅古地末一測，漢永和戊寅多祿某一測，明嘉靖乙酉尼谷老一測，萬曆乙酉第谷一測，崇禎戊辰湯若望一測。國朝康熙壬子，南懷仁著儀象志，又依歲差改定黃經及赤經。今依南公志表，稽其大小，分為六等。一等大星一十有六，二等星六十有八，三等星二百有八，四等星五百一十有二，五等星三百四十有二，六等星七百三十有二，總計一千八百七十八。其微茫小星，則不能以數計。此泰西之學也。」

文鼏又有累年算稿，文鼎為錄存，名曰授時步交食式一卷。又有幾何類求新法，算書中比例規解，本無算例，文鼎作度算，用文鼏所補，而參之以陳藎謨尺算用法。

明安圖

明安圖，字靜庵，蒙古正白旗人。官欽天監監正。受數學於聖祖，預修御定歷象考成後編、御定儀象考成。因西士杜德美用連比例演周徑密率及求正弦、正矢之法，知其理深奧，索解未易，因積思三十餘年，著割圜密率捷法四卷。一曰步法，於杜氏三法外，補創弧背求通弦、求矢法，仍杜氏原法，但通加一四除耳。又弦、矢求弧背，並通弦、矢求弧背，凡六法，合杜氏共成九法。其弦求弧背法，以弦為連比例二率，半徑為一率，求得二、四、六、八、十諸率，以一、三、五、七、九之五數各自乘，為累次乘數。二、三、四、五、六、七、八、九相挨，兩兩相乘，為累次除數，即用二率為第一得數。復置四率，以第一乘數乘之，第一除數除之，為第二得數。又置六率，以第一、第二乘數乘之，第一、第二除數除之，為第三得數。又置八率，以第一、第二、第三乘數乘之，第一、第二、第三除數除之，為第四得數。如是累求，至所得數祗一位止，乃★之，即所求之弧背也。矢求弧背法，倍正矢為連比例三率，亦以半徑為一率，求得五、七、九、十一諸率。以一、二、三、四、五之五數各自乘，為屢次乘數，三、四、五、六、七、八、九、十相挨，兩兩相乘，為屢次除數，即用三率為第一得數。復置五率，以第一乘數乘之，第一除數除之，為第二得數。又置七率，以第一、第二乘數乘之，第一、第二除數除之，為第三得數。又置九率，以第一、第二、第三乘數乘之，第一、第二、第三除數除之，為第四得數。如是累求，至所得數祗一位而止。開平方，即所求之弧背也，通弦求弧背，亦各加一四除。矢求弧背，則三率又多加一四。因更創餘弧求弦矢，餘弦矢求本弧，及借弧與正、餘弦互求四術。二曰用法，以角度求八線，及直線、弧線、三角形邊角相求，共設七題。謂今法所以密於古者，以用三角形也。然三角形非用八線表不能相求，惟用此法，以之立表則甚易，以之推三角形，則不用表而得數同。三、四兩卷曰法解，皆闡明弦、矢與弧背相求之根。其法先以一分弧通弦求二分弧通弧弦之數，次以一分、二分弧通弦求三分、四分全弧通弦之數，以一分三分弧通弦求五分全弧通弦之數。又因二分、五分相乘得十分，十分自乘得百分，十分、百分相乘得千分，十分、千分相乘得萬分。遂以半徑為一率，一分弧通弦為二率，各如相乘之率數，求得十、百、千、萬諸分弧率數。比例得弧背求通弦，應減四率二十四分之一，加六率八十分之一，減八率一百六十八分之一，加十率二百八十八分之一，減十二率四百四十分之一，加十四率六百二十四分之一，減十六率八百四十分之一。各四歸之，則二十四得六，為二三相乘數；八十得二十，為四五相乘數；一百六十八得四十二，為六七相乘數；二百八十八得七十二，為八九相乘數；四百四十得一百一十，為十與十一相乘數；六百二十四得一百五十六，為十二與十三相乘數；八百四十得二百一十，為十四與十五相乘數。故以二、三、四、五、六、七、八、九等數兩兩相乘，為屢次除數。又以通弦求得二率一分多，四率一分，六率九分，八率二百二十五分，十率一萬一千二十五分，十二率八十九萬三千二十五分，十四率一億八百五萬六千二十五分，得後率分數為實。各遞降二等，使二率降為四率，四率降為六率，得前率分數為法。以法除實，得四率一分，為一自乘數；六率九分，為三自乘數；八率二十五分，為五自乘數；十率四十九分，為七自乘數；十二率八十一分，為九自乘數；十四率一百二十一分，為十一自乘數；十六率一百六十九分，為十三自乘數：故以一、三、五、七、九等數各自乘為屢次乘數。次求通弦法，求得十、百、千、萬諸分弧正矢率數，比例得弧背求正矢，應減五率十二分之一，加七率三十分之一，減九率五十六分之一，加十一率九十分之一，減十三率一百三十二分之一，加十五率一百八十二分之一，減十七率二百四十分之一；而十二為三四相乘數，三十為五六相乘數，五十六為七八相乘數，九十為九與十相乘數，一百三十二為十一與十二相乘數，一百八十二為十三與十四相乘數，二百四十為十五與十六相乘數，故以三、四、五、六、七、八、九等數兩兩相乘，為屢次除數。又以正矢求得五率一分多，七率四分，九率三十六分，十一率五百七十六分，十三率一萬四千四百分，十五率五十一萬八千四百分，十七率二千五百四十萬一千六百分，為後率分數，各遞降二等為前率分數。如前通弦法，除得五率一分為一自乘數，七率四分為二自乘數，九率九分為三自乘數，十一率十六分為四自乘數，十三率二十五分為五自乘數，十五率三十六分為六自乘數，十七率四十九為七自乘數，故以一、二、三、四、五等數各自乘，為屢次乘數。書未成而卒，子新續之。